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 数学中心近期研究成果    

随机动力系统团队近期研究成果包括：

建立了随机切触 哈密尔顿系统的基本框架并得到其完全可积性条件（韦屏远，王子博），这是对J.-M. Bismut 在40年前开创随机辛哈密尔顿系统研究的延续；推导出了非局部Kramers-Moyal 公式，其将非高斯随机动力系统的系数与系综平均量（ensemble average）联系起来了，从而为随机动力系统的进一步研究提供了一个有力工具（李扬）； 得到了亚稳态之间最大可能迁移时间的估计（黄远飞，晁颖，魏葳）； 建立了动力系统对stable Levy 噪声的线性响应理论，这个结果把著名的Fluctuation-Dissipation 理论包含为其特例（张琦）；证明了一类随机Schrodinger方程的有效波函数分解定理（张奥）；。 还探讨了温室效应和非高斯扰动对一类气候系统演化的极大似然影响（郑雅允，杨芳，孙旭，付玲，Jurgen Kurths。被选为 Chaos 期刊的 Featured Article）.

数据科学团队近期研究成果包括：

提出了从复杂数据中发现随机动力学模型及其迁移现象的一个方法（卢裕滨。戴敏，高婷，王湘君，廖俊俊）；给定少量观测数据，从而去学习微分方程中的未知参数以及偏微分方程的解；研究了数据驱动方法学习随机微分方程，求解(随机)偏微分方程和相关反问题；研究了神经网络求解偏微分方程和相关反问题，以及如何利用高保真度的网络使得对于少量观测数据可以学到更好的结果；研究了神经网络求解随机偏微分方程，其中用到降维和元学习方法构造最优的神经网络机构，达到了更好的学习效果（陈小丽， 高婷）。

陈双研究了一类三维生物钟系统的有效约化，并且具体分析了约化系统的动力学行为，理论结果能够解释已有数值现象。还研究了线性和非线性中立型小时滞系统的动力学行为，得到了小时滞引起大的谱间隙、非线性系统惯性流形的存在性和光滑性。

高婷与戴敏，卢裕滨，郑雅允等人提出了一种探测和分析随机动力系统极大似然轨道的新方法。

付建勋构造出了一种新类型的逃逸曲线，其聚点集同胚于sin(1/x)连续统。这为研究指数映射族动力系统中的核心对象Julia集提供了在拓扑结构方面的新认知。

郇真和朱晨暢根据higher category理论构造了新型的2-向量丛模型，它在微分几何中有更符合实际需求的应用，和椭圆上同调、量子场论有更紧密的联系。
另外，我和Niko Naumann运用Jacob Lurie的椭圆上同调讲义，通过形式群的计算，第一次对higher chromatic attaching maps进行了分类，并在推广该结论。

李丹丹研究了超临界的弱阻尼波方程在奇异扰动下的动力学行为，证明了全局吸引子的上半连续性。研究了非自治情形的强阻尼波方程在扰动下的动力学行为，在非线性外力下得到非自治吸引子的上半连续性，在线性外力下得到非自治吸引子的下半连续性。正在研究超临界弱阻尼波方程在扰动下指数吸引子的连续性。

林聪萍用神经网络动力学模型模拟癫痫的多米诺骨牌效应，并提出新的癫痫分类方法，研究结果发表在plos computational biology。

刘超建立了Euler-Poisson方程气态分子云的演化模型，分析了它的存在唯一性以及连续性公理，并证明了除了第一类整体解，解必然有限时间爆破(没有任何对称性条件)，并且给出了可能得爆破情况。

向茂松一方面完成了光滑流形中可积分布对应的微分分次流形的Hochschild上同调的计算，结合微分分次流形的形式化定理，我们重新得到了复流形的Kontsevich-Duflo定理；另一方面计算了正则Courant代数胚的标准上同调，并研究了相应的形变理论。

徐海涛对于离散系统中非线性波的稳定性判别进行一般性的研究，解决在相对位移变量下辛对称性破坏的问题，另外也讨论有耗散和外力的情形。

殷钶提出了用区域分解和多重网格设计出一种计算最小化全变分模型的有效算法。计算结果表明该方法对large-scale问题与其他方法相比有较大优势。

袁胜兰研究了具有周期边界条件的Lévy时空白噪声扰动的粘性Burgers方程中的随机湍流。严谨细致地讨论了随机动力学系统中流体的正则性及其统计量。 比如湍流速度的矩估计，结构函数和能量谱。 此外，当粘度趋于零时，刻画了随机Burgers方程的定性和定量性质以及无粘性极限下的随机湍流。

张雄韬对于一般联通拓扑网络结构下的一维CS模型，提出节点分解法提取网络分层结构，严格论证了一般联通网络情形下，无条件单集群涌现的临界参数猜想。

张一威与合作者一起证明了对一类典型的系统（包括Anosov微分同胚、公理A吸引子、一致扩张映射、公理A流等）和通有的C^1光滑的观测函数，其极值测度唯一，且是支撑在周期轨道上的周期测度。该项结果加强了Contreras 2016年发表在Inventiones mathematicae上的结果，完整解决了Yuan-Hunt于1999年提出的典型周期极值猜测。